已知双曲线：（，）左右焦点分别为，， .经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（）

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1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .经过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的左右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ C . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切

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1. 已知直角 $Δ A B C$ 中有一个内角为 $\frac{π}{3}$ ，如果双曲线 $E$ 以 $A ， B$ 为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是（）

A . $\sqrt{3} + 1$ B . 2 C . $\sqrt{3}$ D . $2 + \sqrt{3}$

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2. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作垂直于渐近线的直线 $l$ 交两渐近线于A，B两点，若 $3 | F_{2} A | = | F_{2} B |$ ，则双曲线C的离心率可能为（）

A . $\frac{\sqrt{141}}{11}$ B . $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C . $\sqrt{3}$ D . $\sqrt{5}$

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3. 已知矩形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $A D = 1$ ．若矩形的四个顶点中恰好有两点为双曲线 $Γ$ 的焦点，另外两点在双曲线 $Γ$ 上，则该双曲线的离心率可为（）

A . $\sqrt{5}$ B . $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C . $\sqrt{5} + 2$ D . $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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