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1. (2024·梅州模拟) 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
1. （1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
3. （2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
  设事件 $\text{[math]}$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 $\text{[math]}$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高二下·重庆市期中) 小明在超市购买大米，共有包装相同的10袋大米，其中一级大米有4袋，二级大米有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一级大米”，用B表示事件“第二次取到二级大米”，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 事件 $\text{[math]}$ 相互独立

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1. (2024高二下·重庆市期中) 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，记事件 $\text{[math]}$ “第一次掷出的点数小于3”，事件 $\text{[math]}$ “两次点数之和大于4”，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高二下·衡水月考) 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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1. (2024高三下·吉首模拟) 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员 $\text{[math]}$ 对乙队的每名队员的胜率均为 $\text{[math]}$ ，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为 $\text{[math]}$ .（注：比赛结果没有平局）
1. （1）求甲队明星队员 $\text{[math]}$ 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
3. （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
5. （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员 $\text{[math]}$ 上场的概率.
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1. (2024高二下·罗定期中) 数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就 $\text{[math]}$ 在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作 $\text{[math]}$ 算术研究 $\text{[math]}$ 中首次引入了二次剩余的概念 $\text{[math]}$ 二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用 $\text{[math]}$ 已知对于正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在一个整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 整除 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个二次剩余，否则为二次非剩余 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个整数中随机抽取一个整数 $\text{[math]}$ ，记事件 $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互质”， $\text{[math]}$ “ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的二次非剩余”，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·罗定期中) 长期熬夜可能影响免疫力 $\text{[math]}$ 据某医疗机构调查，某社区大约有 $\text{[math]}$ 的人免疫力低下，而该社区大约有 $\text{[math]}$ 的人长期熬夜，长期熬夜的人中免疫力低下的概率约为 $\text{[math]}$ ，现从没有长期熬夜的人中任意调查一人，则此人免疫力低下的概率为．

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1. (2024高二下·罗定期中) 玻璃杯成箱出售，共 $\text{[math]}$ 箱，每箱 $\text{[math]}$ 只．假设各箱含有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 只残次品的概率对应为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看 $\text{[math]}$ 只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
1. （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
3. （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
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1. (2024高二下·保定期中) 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $\text{[math]}$ 且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 号箱有奖品 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示主持人打开 $\text{[math]}$ 号箱子 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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1. (2024高二下·保定期中) 袋中有除颜色外其他都相同的7个小球，其中4个红色，3个黄色.
1. （1）甲､乙两人依次不放回各摸一个球，求甲摸出红球，乙摸出黄球的概率；
3. （2）甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量 $\text{[math]}$ 为此时已摸球的次数，求：
  ① $\text{[math]}$ 的值；
  ②随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
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