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1. (2024·云梦模拟) 如图，已知正方形 $\text{[math]}$ 中，点E ， F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2023八上·团风期中) 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，点P是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，点O在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ ，下面的结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 是正三角形；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2024九下·杭州月考) 如图1， $\text{[math]}$ 为锐角三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，点D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，点F在 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）用含a的代数式表示 $\text{[math]}$ ：
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径．
  ①当 $\text{[math]}$ 的长为2时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024八下·武汉期中) 如图1，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE ， PE交CD于F ．
图1 图2
1. （1）求证：PC=PE；
3. （2）求∠CPE=；
5. （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120^o时，连接CE ，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
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1. (2024七下·济南期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ ，要说明 $\text{[math]}$ ，需从下列条件中选一个，错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·黄石月考)
1. （1）如图1，已知 $\text{[math]}$ ，以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE ，连接BE、CD.猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.
3. （2）在幸福村的休闲广场上种有四棵景观树，在如图2所示A、B、C、E的位置，数学兴趣小组的同学测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米.
  ①求A、C两棵树之间的距离；（结果保留根号）
  ②如果 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求B、E两棵树之间的距离.
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1. (2024·临沂一模) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，运动到点B、C停止.
1. （1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；
3. （2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
5. （3）当点D运动到什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $\text{[math]}$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
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1. (2024八下·江汉期中) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 $\text{[math]}$ 于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
1. （1）求证：四边形AEFD是矩形；
3. （2）连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．
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1. (2024八下·荆州期中) 如图，在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ， F是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H.在下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论是（）

A . ①②③ B . ①④ C . ①②③④ D . ②③④

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1. (2024·宁波一模) 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CF.CG.
1. （1）求证：四边形EFCG是平行四边形.
3. （2）如图2，若四边形EFCG是菱形，求AB：AD的值.
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