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1. (2024·普宁模拟) 综合与实践
不借助科学计算器，如何求 $\text{[math]}$ 的值？小明进行了如下的实践操作：
如图，已知正方形纸片 $\text{[math]}$ .
第一步：将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，展开后得到折痕 $\text{[math]}$ .
第二步：将 $\text{[math]}$ 折叠到 $\text{[math]}$ ，使点B的对应点F恰好落在 $\text{[math]}$ 上，展开后得到折痕 $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ .
问题解决：
1. （1）求证： $\text{[math]}$
3. （2）请利用小明的实践操作过程，求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·普宁模拟) 综合与探究：
如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线顶点为点M.
1. （1）求抛物线解析式及点M的坐标；
3. （2）平移直线 $\text{[math]}$ 得直线 $\text{[math]}$ .
  ①如图2，若直线 $\text{[math]}$ 过点M ，交x轴于点D ，在x轴上取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
  ②把抛物线 $\text{[math]}$ 在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）.当直线 $\text{[math]}$ 与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围.
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1. (2024·新兴模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，AC是直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ .连接AD ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交AC于点 $\text{[math]}$ ，交AD于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）求证： $\text{[math]}$ .
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024九下·东莞模拟) 如图，将 $\text{[math]}$ 放在每个小正方形边长为 $\text{[math]}$ 的网格中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在格点上，则 $\text{[math]}$ 的值是．

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1. (2024九下·绍兴模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．分别以 $\text{[math]}$ 三边为底边向外作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·道县期中) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，以 $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AE的长度；
5. （3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·邵东模拟) 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 $\text{[math]}$ 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·上城模拟) 光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝ $\text{[math]}$ 称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C ，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12 cm，正方形ABCD的边长为30 cm．
（参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ， cos37°≈ $\text{[math]}$ ， tan37°≈ $\text{[math]}$ ， sin53°≈ $\text{[math]}$ ， cos53°≈ $\text{[math]}$ ， tan53°≈ $\text{[math]}$ ）
1. （1）求PE的长；
3. （2）求该液体（介质）的折射率n ．
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1. (2023·萧山模拟) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，点P是AB延长线上的一点，PC是 $\text{[math]}$ 的切线，C为切点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则PC=.

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1. (2024·维吾尔自治区二模) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线分别交 $\text{[math]}$ 于点M，N，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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