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1. (2024九下·杭州月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，三角形 $\text{[math]}$ 的面积等于1，则以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的结论是（）

A . ②④ B . ①②④ C . ①③④ D . ①②③④

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1. (2024八下·东城期中) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 的“中旋点”．
1. （1）已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 的“中旋点”．
  ①若点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是；
  ②若点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，求线段 $\text{[math]}$ 长的取值范围；
3. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对角线构造正方形 $\text{[math]}$ ，在该正方形边上任取两点（包括顶点）构造线段 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 上至少存在一个点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“中旋点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·临沂一模) 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为 $\text{[math]}$ 的抛物线经过 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴负半轴于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·襄阳月考) 定义 $\text{[math]}$ 为二次函数 $\text{[math]}$ 的特征数，下面给出特征数为 $\text{[math]}$ 的函数结论，其中正确的结论是．（填写序号）
①当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 一定在函数的图象上；
②当 $\text{[math]}$ 时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ 时，函数在 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而增大；
④若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$

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1. (2024九下·柯桥月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的部分对应值为：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
2
3
2
？
$\text{[math]}$
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，函数图象从左到右上升 B . 抛物线开口向上 C . 方程 $\text{[math]}$ 的一个根在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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1. (2024九下·柯桥月考) 若关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个实数根 $\text{[math]}$ ，另一个实数根 $\text{[math]}$ ，则关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 图象的顶点到x轴距离h的取值范围是．

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1. (2024九下·自贡月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，其大致图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若方程 $\text{[math]}$ 有两个根 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若方程 $\text{[math]}$ 有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2024·威远模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为抛物线上第一象限内的一个动点．
1. （1）求抛物线所对应的函数表达式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·雨城模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象如图所示，下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④点 $\text{[math]}$ 都在抛物线上，则有 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（　　）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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1. (2024·成都模拟) 如图是二次函数 $\text{[math]}$ （a ， b ， c是常数， $\text{[math]}$ ）图象的一部分，与x轴的交点在点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，对称轴是 $\text{[math]}$ ．对于下列说法：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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