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1. (2024·宁波模拟) 如图，中国古代用算筹记数，有纵式和横式两种．算筹记数的方法是摆个位为纵，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，数位从高到低．如257表示为，则3182可表示为（　　）

A . B . C . D .

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1. (2024七下·合肥期中) 阅读材料：
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为整数， $\text{[math]}$ ；
…
小明发现结论：若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为相邻的两个整数，其中 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ．并给出了证明：
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为相邻的两个整数， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
等式两边同时平方，得： $\text{[math]}$ ．
▲ 得： ▲ ．
请根据以上材料，解决以下问题：
1. （1）请补全小明的证明过程．
3. （2）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为两个相邻整数，则 $\text{[math]}$ ．
5. （3）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为相差4的两个整数，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024七下·合肥期中) 观察下面的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……．寻找规律，第 $\text{[math]}$ 个数据应是．

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1. (2024九下·浙江模拟) 有如下数列： $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 6 C . 4 D . 2

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1. (2024·霍邱模拟) 观察以下等式：
第1个等式： $\text{[math]}$
第2个等式： $\text{[math]}$
第3个等式： $\text{[math]}$
……
按照以上规律，解决下列问题：
1. （1）写出第5个等式：；
3. （2）写出第 $\text{[math]}$ 个等式：，（用含 $\text{[math]}$ 代数式表示）并证明．
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1. (2024七下·荆州期中) 先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 $\text{[math]}$ ；第二个等式 $\text{[math]}$ ；第三个等式 $\text{[math]}$ ．
1. （1）根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
3. （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
5. （3）对于任何实数a ， $\text{[math]}$ 表示不超过a的最大整数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，计算： $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024八下·荆州期中) 《九章算术》提供了许多组勾股数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（）

A . 26 B . 101 C . 13 D . 24

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1. (2024八下·湖北期中) 观察分析下列数据：0，－ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，－3，2 $\text{[math]}$ ，－ $\text{[math]}$ ，3 $\text{[math]}$ ，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是．(结果需化简)

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1. (2024九下·浙江模拟) 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，我们定义 $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ；……； $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ．若将数组 $\text{[math]}$ 中的各数分别作 $\text{[math]}$ 的变换，得到的数组记为 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 作的变换 $\text{[math]}$ ，得到的数组记为 $\text{[math]}$ ；……；则 $\text{[math]}$ 的值为．

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1. (2024七下·广安月考) 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是．

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