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1. (2024·南山模拟) 数形结合是解决数学问题的重要方法 $\text{[math]}$ 小明同学学习二次函数后，对函数 $\text{[math]}$ 进行了探究 $\text{[math]}$ 在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象 $\text{[math]}$ 请根据函数图象，回答下列问题：
1. （1）【观察探究】：
  方程 $\text{[math]}$ 的解为：；
3. （2）【问题解决】：
  若方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根，分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  ① $\text{[math]}$ 的取值范围是；
  ②计算 $\text{[math]}$ ；
5. （3）【拓展延伸】：
  ①将函数 $\text{[math]}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；
  ②观察平移后的图象，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围 ▲ ．
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1. (2024·光明模拟) 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 $\text{[math]}$ 轴，过跳台终点 $\text{[math]}$ 作水平线的垂线为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 $\text{[math]}$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 $\text{[math]}$ 正上方 $\text{[math]}$ 米处的 $\text{[math]}$ 点滑出，滑出后沿一段抛物线 $\text{[math]}$ 运动．
1. （1）当运动员运动到离 $\text{[math]}$ 处的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，离水平线的高度为 $\text{[math]}$ 米，求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围）；
3. （2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 $\text{[math]}$ 米？
5. （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 $\text{[math]}$ 米时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·北部湾月考) 在平面直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

A . B .
C . D .

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1. (2024九下·宁江开学考) 对于二次函数 $\text{[math]}$ 的图象，下列说法正确的是（）

A . 开口向下 B . 对称轴是直线 $\text{[math]}$ C . 顶点坐标是 $\text{[math]}$ D . 与 $\text{[math]}$ 轴有两个交点

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1. (2024九下·兴宁月考) 若点 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 图象的最低点，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·长春月考) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 在第二象限，以 $\text{[math]}$ 为顶点的抛物线 $\text{[math]}$ 经过原点，与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且位于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合）.若四边形 $\text{[math]}$ 的周长为14， $\text{[math]}$ 的周长大于8，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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1. (2024·五华模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点是 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 。
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是抛物线上任意两点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围。
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1. (2024·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点D，E，过该函数图象的顶点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴平行的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点B，C．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 需满足的关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2022·威宁模拟) 如图，某体育休闲中心的一处山坡 $\text{[math]}$ 的坡度为1∶2，山坡上A处的水平距离 $\text{[math]}$ ， A处有一根与 $\text{[math]}$ 垂直的立杆 $\text{[math]}$ ．这是投掷沙球的比赛场地，要求人站在立杆正前方的山坡下点O处投掷沙球，沙球超过立杆 $\text{[math]}$ 的高度即为获胜．
在一次比赛中，小林投出的沙球运动路线看作一条抛物线，沙球出手时离地面 $\text{[math]}$ ，当飞行的最大高度为 $\text{[math]}$ 时，它的水平飞行距离为 $\text{[math]}$ ；
1. （1）求该抛物线的表达式，并在网格图中，以O为原点建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的大致图像；
3. （2）小林这一次投掷沙球能否获胜？请说明理由．
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1. (2024·广西壮族自治区模拟) 在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象中，若 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的诗曾大而娍小，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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