筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，水斗舀满河水，将水提升，水流源源不断，流入田地（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上

1. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，水斗舀满河水，将水提升，水流源源不断，流入田地（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，接水槽 $\text{[math]}$ 所在的直线是圆O的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点M，P、O、C三点共线， $\text{[math]}$ 是圆O的直径时；
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长