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1. (2023九上·南山月考) 如图
【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795－1881）曾给出了一元二次方程x²＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0），N（n，0），则m，n为方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根．
1. （1）【自主探究】由勾股定理得，AM²＝1²＋m² ， BM²＝c²＋（－b－m）² ， AB²＝（1－c）²＋b² ，在Rt△ABM中，AM²＋BM²＝AB² ，所以1²＋m²＋c²＋（－b－m）²＝（1－c）²＋b² ．化简得：m²＋bm＋c＝0．同理可得：．所以m，n为方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根．
3. （2）【迁移运用】在图2中的x轴上画出以方程x²－3x－2＝0两根为横坐标的点M，N．
5. （3）已知点A（0，1），B（4，－3），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
7. （4）【拓展延伸】在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a），B（－b，c），若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是．
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1. (2024·阳新模拟) 已知关于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．
求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．

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1. (2024九下·惠阳月考) 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，那么 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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1. (2024八下·贺州月考) 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若方程有两个实根，求k的取值范围．
3. （2）若方程的一根为 $\text{[math]}$ ，求k的值及另一根．
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1. (2024·恩施模拟) 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若方程的一个根为2，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若方程有实数根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024八下·义乌月考) 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ x²﹣（a+2b）x+2＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+ $\text{[math]}$ 上，点Q（ $\text{[math]}$ a，b）在直线l下方，则PQ的最小值为．

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1. (2024八下·义乌月考) 饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．
1. （1）设EF的长为x米，则DE＝米；（用含x的代数式表示）
3. （2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
5. （3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
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1. (2024八下·义乌月考) 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+m²+m＝0．
1. （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
3. （2）设该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ．
  ①求代数式； $\text{[math]}$ 的最大值；
  ②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
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1. (2024八下·义乌月考) 如果关于x的一元二次方程k²x²﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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1. (2024八下·桐乡市月考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 移动；同时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
1. （1）在运动过程中， $\text{[math]}$ 长度能否为 $\text{[math]}$ ？若能，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不能，请说明理由；
3. （2）在运动过程中， $\text{[math]}$ 的面积能否为 $\text{[math]}$ ？若能，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不能，请说明理由；
5. （3）取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
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