如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G ，以为底边在下方作等腰，且．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为边 $\text{[math]}$ 的中点，点F为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G ，以 $\text{[math]}$ 为底边在 $\text{[math]}$ 下方作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，若点H恰好落在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （2）如图②．点H落在矩形 $\text{[math]}$ 内，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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