如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．

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1. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：DE²=DF•DA．

基础巩固换一批

1. 为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？

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2. 在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 $12$ 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 $Rt △ A B C$ 中，短直角边 $B C = 5$ 步，长直角边 $A B = 12$ 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 $B D E F$ 的边长为多少？

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3. 如图， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $C$ ，已知 $A C = 4$ ， $B C = 2.1$ ， $E C = 8$ ， $D C = 4.2$ .求证： $A B / / D E$ .

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