1. 如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q ， 交x轴于点M ．

1. （1） 直接写出直线L的解析式；
3. （2） 设OP＝t ， △OPQ的面积为S ， 求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
5. （3） 直线L₁过点A且与x轴平行，问在L₁上是否存在点C ， 使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．